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朝阳数学辅导中心告诉我们数学的危机有哪些
发布时间:2020-04-16 浏览1886次


在数学的发展史上,大大小小的矛盾出现过很多,但很少能威胁到整个数学基础理论,甚至引起危机。即便是千百年来人们对欧几里得几何公理第五公设的疑惑,也不曾造成数学上的危机,且最终成就了罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。数学史上共出现三次数学危机,每次都是由于悖论的发现而深刻和广泛的影响了数学基础。


希帕索斯悖论与第一次数学危机
公元前5世纪,数学的认知还处在从自然数概念而形成有理数概念的早期阶段,对于无理数的概念是一无所知。早期的数学知识包括了大量经验性的东西,当时的人们认为一切量都可以用有理数来表示,尤其是信仰“一切皆数”的毕达哥拉斯学派,深信数的和谐与数是万物的本源,宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数比。在这样的背景条件下,毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约,这直接挑战了毕达哥拉斯学派的信条,冲击了古希腊人数学认知,引起了人们的恐慌,造成了数学上的第一次危机。

毕达哥拉斯学派为了维护“真理”,把发现真理的希帕索斯扔到了大海里。似乎欧洲人继承了这一点,可怜的布鲁诺、哥白尼也成为了牺牲品。然而,伟大的发现,并没有因为发现者的死亡而消逝,反而得到广泛流传,引起了人们的关注和思考。毕达哥拉斯学派在这种压力下,被迫接受了悖论并给出了单子概念,企图解决悖论。单子概念是一个小度量单位以致本身是不可度量的。基于单子,芝诺有话要说,他认为一个单子或者是0或者不是0,如果是0,则无穷多个单子相加也产生不了长度,如果不是0,则由无穷多个单子可组成有限长线段。因此,芝诺悖论也列为数学第一次危机的组成部分。

该危机对当时的数学发展产生了极大的影响:

由于古希腊人不能掌握无理数概念,限制了算术和代数,使得数学研究转向几何。

古希腊人在解决危机的过程中,把数和量区分开来,分而治之的策略使得算术、代数的发展受到极大的限制,而几何学却得到充分发展。

经过数学危机的洗礼,古希腊人认识到:直觉、经验是不可靠的,推理论证才是可靠的。这种转变导致了公理几何学与逻辑学的诞生。

贝克莱悖论与第二次数学危机
微积分自诞生便迅速、广泛地应用于各个领域,自身也得到了飞速发展。也正因为发展迅猛,出现了一些混乱局面。在当时,整个微积分理论建立在含糊不清的无穷小概念上,而作为微积分方法的主要基石正是“无穷小分析”。

尽管在实践上,无穷小分析得到了成功的应用,但在逻辑上有两类缺陷:一是某些概念含糊不清;二是某些推理不严谨。例如:无穷小量在牛顿的著作中,有时是零,有时是非零有限量;在牛顿和莱布尼茨那里,运算的结果虽然正确,但推理过程却含有逻辑漏洞;开始会预先假定一个非零的有限增量,尔后又把这个零略去,违反逻辑上的同一律。

由于幽灵一般的无穷小,微积分存在着种种逻辑缺陷,因此遭到了来自各个方面的攻击。尤其英国大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈。迫于当时自然科学的发展对宗教信仰的威胁和压力,似乎不难理解大主教的良苦用心。但打铁还需自身硬,当时的微积分理论确实没有牢固的基础,牛顿、莱布尼茨以及他们的拥趸,都无法澄清微积分理论基础中的混乱,致使来自各方面的非难似乎言之有理。正因为如此,贝克莱揭示出微积分基础中包含着逻辑矛盾,在当时引起了一定的混乱,导致了数学史上的第二次危机。

为解除数学的第二次危机,整个18世纪,数学家的首要任务就是为微积分找出合乎逻辑的理论基础。数学家们从不同的角度提出各自的方案,其中有一个方案是通过极限的方法为微积分提供论证,把极限概念作为微积分的基础,为无穷小量的整个运算提供可靠的根据,其代表人物是达朗贝尔和柯西。柯西详细、系统地发展极限论,在极限概念“算术化”的方向上迈出了决定性的一步。19世纪后半叶,康托尔、维尔斯特拉斯和戴德金等人沿着柯西开辟的道路,建立起完整的实数理论,伴随着分析的严格化,第二次数学危机也宣告结束。

罗素悖论与第三次数学危机
19世纪后半叶,康托尔首创的集合论成为现代数学的基础,被越来越多的数学家所接受和应用。1900年,巴黎召开第二届国际数学家大会,法国大数学家庞加莱骄傲地宣称:“现在我们能说完全的严格性已经达到了。”然而好景不长,数学家还没来得及高兴,英国数学家罗素提出了著名的罗素悖论,从而造成了数学史上空前的第三次危机,集合论的悖论所涉及的问题更深刻,涉及的范围更广阔。

1900年,罗素在巴黎见到意大利数学家皮阿诺,他发现皮阿诺比任何其他人都严格,并认定这是他的数理逻辑所致。因此罗素潜心研究皮阿诺及其学生的著作,并且认定他的符号正好是自己寻求多年的、可以用来进行逻辑分析的工具。接着罗素开始打算从逻辑推出全部数学来。开始他觉得还顺利,但是不久就碰到问题。康托尔曾经证明过不存在最大的基数(因为任何一个集合的所有子集做成的集合的基数比原集合的基数大)。罗素对此有些疑惑,认为以世界上所有的集合为元素做成的集合应该是最大的(因而具有最大的基数)。这样他就发觉其中有些矛盾。开始的时候他也觉得这件事也许没有什么大不了,也许是在什么地方绕住了。但是他左思右想仍无法绕过来,结果产生了著名的罗素悖论。

罗素悖论很简单,它只涉及集合论的少数几个最基本的概念,如元素、集合、属于等。考虑由所有那些自身不属于自己的集合(以它们为元素)作成一个集合A,那么,A是本身属于自己的集合还是本身不属于自己的集合?理应二则必居其中一个,但是:

若A属于A,则根据A的定义,A不属于A。

若A不属于A,则根据的定义,A属于A。

无论在任何情况下都导致矛盾。这就是人所共知的罗素悖论。

罗素得出简单明了的矛盾,只用了三个基本概念,而集合论的基础地位已十分显赫,悖论的出现撼动了以集合论为基石的数学大厦。比如:弗雷格得知罗素悖论之后,认为他的“算术基础动摇了”;戴德金认为他的实数理论也成了问题。

为摆脱这一空前的危机,数学家主要考虑了两条路径:抛弃整个集合论,把数学建立在新的理论基础之上;改造康托尔的集合理论,引进新的理论体系。经过探索,数学们选择了改造康托尔的集合理论。为捍卫数学理论基础的科学性和逻辑的严密性,当时很多著名的数学家、逻辑学家和哲学家都积极地投入了一场解决集合论中悖论的工作。例如:罗素提出了分支类型论;策梅罗、弗兰克等人共同建立的著名ZFC集合论公理系统;尤其是20世纪的伟大数学家哥德尔证明了哥德尔不完备性定理,该定理无论是在数学史上,还是在逻辑学发展史上都是一个里程碑。哥德尔不完备性定理的内容是:包括算术在内的任何一个协调公理系统都是不完备的。具体地讲,包括算术在内的任何一个形式系统L,如果L是协调的,那么在L内总存在不能判定的逻辑命题,即L中存在逻辑公式A与非A,在L内不能证明它们的真假。

哥德尔定理的意义在于,包括数学在内的任何一个科学体系都不能用一个完备的系统概括起来。可以说,第三次数学危机是通过哥德尔的伟大贡献才得到基本解决。然而不会再有谁敢说,数学理论体系的大厦已经建成,说不定什么时候就会遇上第四次数学危机了。

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